Borges, Cantor y el infinito 002 (2.0.0)

Le hice varios cambios al ensayo, entre agregados, reubicaciones y supresiones. En comparación con la versión 1.0.0, ahora se ve así:

Disclaimer: este ensayo presupone conocimientos sobre números cardinales transfinitos, de los que hablé en los capítulos 1 y 2 del tríptico “Los transfinitos”.

1.

   Para el personaje y narrador Borges, un escritor que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de ver, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo» y contando como uno, por ejemplo, los «convexos desiertos ecuatoriales y cada uno de sus granos de arena»).
   Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que acompaña a esa enumeración).
   Pero si tomamos al pie de la letra lo de «vistos desde todos los ángulos» o «desde todos los puntos del universo», si asumimos que «cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas», se agrega una cantidad de imágenes superior a la de números naturales y el conjunto se vuelve no enumerablemente infinito.

   No hace falta el universo: el conjunto de puntos de una línea, por corta que sea, ya es igual de grande que el conjunto de números reales, que es igual de grande que el conjunto de selecciones posibles de números naturales, que son tres conjuntos mayores que el de números naturales: 2^ℵ_o (aka c) > ℵ_o.

   Entonces: en esta interpretación con aritmética transfinita, lo que hace no enumerablemente infinito al conjunto de las imágenes provistas por el Aleph es que resulta de multiplicar «cada cosa» por los 2^ℵ_o miradores, «los puntos del universo»: 1 × 2^ℵ_o = 2^ℵ_o imágenes.
   Si en vez de 1 cosa querés considerar todas, o son muchas pero finitas o son infinitas pero enumerables (o sea, ℵ_o); en cualquier caso, el resultado (el número de imágenes aléficas) es el mismo:

n × 2^ℵ_o = 2^ℵ_o;
ℵ_o × 2^ℵ_o = 2^ℵ_o.

   Y seguiría siendo el mismo si hubiera 2^ℵ_o cosas vistas desde 2^ℵ_o puntos:

2^ℵ_o × 2^ℵ_o = 2^ℵ_o.

2.

   Después de narrar los hechos, una Posdata del 1º de marzo de 1943 los actualiza y los comenta. A partir de ahí, al Aleph le sucede lo que sucede en el Aleph: es visto desde distintos puntos (no todos, sólo una muestra). Algunos se refieren al nombre elegido por Daneri, la letra ℵ:

«...también se dijo que tiene la forma de un hombre que señala el cielo y la tierra, para indicar que el mundo inferior es el espejo y es el mapa del superior; para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes.»

   El personaje Borges acá (y el autor Borges en toda su obra) nos muestra hasta dónde entendió o aceptó —en todo caso, hasta dónde manejó— los números transfinitos y la Teoría de Conjuntos («la Mengenlehre», que en el cuento traducido al inglés se convierte en la «Cantor's Mengenlehre»): hasta ℵ_o y sus equipotencias contraintuitivas entre el todo y una parte infinita suya (deberían ser diferentes —creemos— y son iguales —sabemos—).
   Las dos referencias a la letra que da nombre al Aleph apuntan a lo mismo. La primera evoca una autorrepresentación por la que Borges se interesa en “Magias parciales del Quijote”: la tierra es el espejo y es el mapa del cielo como el mapa de Inglaterra que imagina Royce, hecho sobre una porción de su suelo, refleja todo el territorio, incluyendo a esa porción y por lo tanto al mismo mapa.
   Para la segunda referencia, en “La doctrina de los ciclos” Borges le atribuye el argumento de esa equipotencia a Cantor; en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”, a Russell:

La operación de contar no es otra cosa para él [Cantor] que la de equiparar series.

Para Russell, la operación de contar es (intrínsecamente) la de equiparar dos series.

Por ejemplo, si los primogénitos de todas las casas de Egipto fueron matados por el Ángel, salvo los que habitaban en casas que tenía en la puerta una señal roja, es evidente que tantos se salvaron como señales rojas había, sin que esto importe enumerar cuántos fueron. Aquí es indefinida la cantidad; otras agrupaciones hay en que es infinita. El conjunto de los números naturales es infinito, pero es posible demostrar que son tantos los impares como los pares.

Al 1 corresponde el 2
Al 3 corresponde el 4
Al 5 corresponde el 6, etcétera.

La prueba es tan irrefutable como baladí, pero no difiere de la siguiente de que hay tantos múltiplos de tres mil dieciocho como números hay -sin excluir de éstos al tres mil dieciocho y sus múltiplos.

Al 1 corresponde el 3018
Al 2 corresponde el 6036
Al 3 corresponde el 9054
Al 4 corresponde el 12072, etcétera.

Cabe afirmar lo mismo de sus potencias, por más que éstas se vayan ratificando a medida que progresemos.

Al 1 corresponde el 3018
Al 2 corresponde el 30182
El 9.108.324 al 3, etcétera.

   Siglos antes, con las potencias de 2 y todos los enteros, Galileo interpretaba el mismo resultado de otra manera: esa equipotencia absurda entre la parte y el todo venía a demostrar que las nociones de igual que, mayor que y menor que no eran aplicables a conjuntos infinitos, porque de hacerlo se desembocaría en un sinsentido.
   El primero que da vuelta esa interpretación (de sinsentido a rasgo definitorio) es también el primero que usa el término Menge (conjunto): Bernard Bolzano. Un alumno suyo publica en 1854, tres años después de su muerte, Paradojas del infinito, donde Bolzano da la definición de conjunto infinito que después retomarán Dedekind y Cantor, y que Russell divulgará. Borges (en ambos ensayos) la glosa así:

Una genial aceptación de estos hechos ha inspirado la fórmula de que una colección infinita —verbigracia, la serie de los números naturales— es una colección cuyos miembros pueden desdoblarse a su vez en series infinitas.

   En “La doctrina de los ciclos” agrega a continuación un paréntesis con la definición canónica:

(Mejor, para eludir toda ambigüedad: conjunto infinito es aquel conjunto que puede equivaler a uno de sus conjuntos parciales.)

3.

   Borges no muestra en ningún lugar de su obra haber llegado a la idea de un conjunto infinito mayor que otro conjunto infinito, que es contraintuitiva en el polo opuesto, en la no equipotencia (deberían ser iguales —creemos— y son diferentes —sabemos—). Y no creo que de haberla conocido y comprendido se hubiera privado de escribir sobre esa diferencia entre infinitos que parecían iguales tanto o más de lo que escribió sobre la equipotencia entre infinitos que parecían diferentes.
   Pero la cosa es más complicada. Por un lado, Borges prologó Matemáticas e imaginación, de Edward Kasner y James Newman. En el capítulo II, “Más allá del googol”, se exponen ambos golpes contraintuitivos del infinito matemático; si leyó y entendió el segundo, se llevó el secreto a la tumba. Lo mismo vale para el capítulo 8, “Números cardinales transfinitos”, de Introducción a la filosofía matemática, de Bertrand Russell.
   Por otro lado, Borges sí menciona conjuntos que tienen 2^ℵ_o elementos. De hecho, además del conjunto de naturales y subconjuntos suyos, ilustra la equipotencia todo-parte con el conjunto de puntos que hay en cualquier porción de espacio; escribe en “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga”:

La parte, en esas elevadas latitudes de la numeración, no es menos copiosa que el todo: la cantidad precisa de puntos que hay en el universo es la que hay en un metro de universo, o en un decímetro, o en la más honda trayectoria estelar.

   Pero Borges no parece distinguir estos conjuntos de 2^ℵ_o miembros de conjuntos infinitos inferiores. En “La doctrina de los ciclos” iguala un conjunto denso (el de las ℵ_o fracciones que hay entre otras dos) con uno continuo (el de los 2^ℵ_o puntos que hay entre otros dos):

«¿Qué fracción enumeraremos después de 1/2? No 51/100 porque más cerca está 201/400; no 201/400 porque más cerca... Igual sucede con los puntos, según Georg Cantor. Podemos siempre intercalar otros más, en número infinito.»

   Ok, no los iguala expresa sino tácitamente. Porque si no agrega que esas infinitudes no miden igual, deja que se entienda que sí. ¿Es lo que cree? ¿Es algo que da por cierto? ¿Algo que no cuestiona? ¿Algo que ni siquiera se ha planteado? ¿Por qué no lo dice? Creo que es más probable que no lo diga porque lo desconoce que porque lo conoce y lo calla. Él no se guardaría algo así.
   Por lo que fuere, Borges se maneja (como se manejaría) con la convicción, lúcida o ciega, de que el infinito es 1 (uno), incluso si es el tamaño (máximo) que distintos conjuntos pueden tener (entre ellos, una parte infinita y su todo). En cambio, un infinito mayor que otro ya son 2 (dos) infinitos: ya hay una jerarquía de tamaños más allá de los finitos, tamaños cuyos cardinales ℵ_o, ℵ₁, ℵ₂... son tan reales o irreales como los cardinales 0, 1, 2...