Amplié bastante el ensayo que publiqué el 15, "El conjunto absoluto". Ayer le hice algunas modificaciones leves (aunque una fue importante para el tema de cómo considerar la situación de T, que le había agregado el día de la publicación al texto original del 2002). Hasta ahora se veía así:
Acordemos que todos los cuartetos forman un conjunto, al que Frege y Russell identifican como aquello que es el número 4. Del mismo modo, todos los quintetos forman un conjunto, que viene a ser la clase cardinal 5. Supongamos ahora que unimos esos dos conjuntos; el conjunto unión de todos los cuartetos y de todos los quintetos es la suma de dos clases cardinales, la 4 y la 5 (las que a su vez son miembros del conjunto de todas las clases cardinales). Disponer en un solo conjunto de todos los cuartetos y todos los quintetos nos ha cebado, y vamos por más: formulamos entonces el conjunto T de todos los conjuntos que tienen algún número positivo de miembros o ninguno (es decir, que tienen 0 ó 1 ó 2 ó 3... ó n... miembros). Además de los cuartetos y los quintetos, en él estarán el único conjunto vacío, todos los unitarios, todos los dúos, todos los tríos, etc.
Conviene notar que no hemos formulado el conjunto de todas las clases cardinales (es decir, el conjunto de los números naturales), sino el conjunto unión de todas las clases cardinales: sus miembros no son las clases cardinales 0, 1, 2, 3..., sino los miembros de todas y cada una de ellas, que son conjuntos: desde el conjunto vacío hasta los conjuntos infinitos, pasando por los finitos dúos, tríos, cuartetos, etc. (T no es pasible de las objeciones russellianas de la confusión de tipos: T no mezcla individuos con clases de individuos, clases de clases de individuos, etc.; los miembros de T son bastante homogéneos: sólo hay en T conjuntos con algún número de miembros.)
Para diferenciar mejor este conjunto, comparémoslo con un conjunto vecino, que resulta de volver a aplicar la operación de unir interiores. Si unimos todos los miembros de cada unitario, de cada dúo, de cada trío, etc., el conjunto unión (del conjunto unión de las clases cardinales) que obtenemos es el conjunto de todos los miembros (mejor que de todas las cosas), el club de todas las membresías. El conjunto T es la unión anterior; veamos a qué conjunto equivale.
Pensemos en colecciones diversas: la de todos los puntos de un segmento de línea, la de todos los glaciares, la de todos los números primos, las de todas las gotas de lluvia que tocaron a X, etc. Más allá de las dificultades que en algún caso puedan existir para determinarlo, es razonable creer que cualquiera de estos conjuntos tiene un número preciso de elementos, que será su medida o tamaño. Si ése es el caso de cualquier conjunto, si todo conjunto tiene un número cardinal por tamaño, entonces el conjunto T de los conjuntos con algún número de miembros resulta ser el conjunto de todos los conjuntos. (De hecho, puede interpretárselo como una presentación ordenada suya: primero, el conjunto vacío; luego, todos los unitarios; luego, todos los dúos; etc.).
¿Y qué hay de él? Si tiene un número cardinal por tamaño, entonces es miembro de un subconjunto suyo. No es miembro de la clase cardinal 4 –no es un cuarteto– ni de la 5 –no es un quinteto–; pero, si tiene algún número de miembros, ha de ser miembro de alguna clase cardinal. Y como cualquier miembro de un subconjunto de T es también miembro de T, T es miembro de sí mismo.
Rebobinemos. Como todos los miembros de una clase cardinal n son también miembros de T, cualquier clase cardinal es subconjunto de T. Si T es miembro de sí mismo, también lo es de algún subconjunto suyo, a saber: aquella clase cardinal x a la que pertenezca T por tener x miembros. (Si x fuese un número finito, se reeditaría con T la paradoja de los tres tristes tríos; si fuese infinito, su duplicidad conjunción-conjunto.)
El hecho de que cada uno de los conjuntos tenga un tamaño no implica que necesariamente su totalidad lo tenga; ¿tampoco obliga a que no lo tenga? Si la respuesta es "No, tampoco", lo máximo que se puede afirmar es que, en caso de tener un tamaño la totalidad de las totalidades (finitas, transfinitas, trans-transfinitas, etc.), no es comparable con los tamaños de los conjuntos (o totalidades) que la componen. Si la respuesta es "Sí, obliga", la razón creo que sería algo así: si haciendo posible que T tenga un tamaño desembocamos en una contradicción, entonces mejor no lo hacemos posible: lo obligamos a ser imposible.
Nada impide que postulemos que el conjunto T tiene un tamaño –al igual que los conjuntos que lo integran–, a condición de que sepamos que tal tamaño –a diferencia de los otros– no pertenece a la jerarquía que él limita. (La situación no es nueva. Su repetición hace que cualquier etiqueta de absoluto resulte la ilusión de tope que genera una perspectiva encerrada.)
T tiene un número de miembros mayor que el de cualquier otro conjunto; T es un conjunto máximo. Esto entra en contradicción con un teorema externo a la ley de su formación: con el teorema del conjunto potencia, por el cual no puede haber un conjunto mayor.
Si este es el caso, el teorema del conjunto potencia es válido para cualquier conjunto de la jerarquía que él forma, pero no para la totalidad de ellos, entendida como un conjunto más. Ese total es la expresión de su límite, como ℵo lo es de los números cardinales finitos y ω lo es de los ordinales finitos. El teorema impide que T integre la serie (esa serie), no que exista: de hecho, existe en calidad de (o sea, es) su límite, y nada obliga a que no pueda ser el término inaugural de otra serie.
Ahora se ve así:
Acordemos que todos los cuartetos forman un conjunto, al que Frege y Russell identifican como aquello que es el número 4. Del mismo modo, todos los quintetos forman un conjunto, que viene a ser la clase cardinal 5. Supongamos ahora que unimos esos dos conjuntos; el conjunto unión de todos los cuartetos y de todos los quintetos es la suma de dos clases cardinales, la 4 y la 5 (las que a su vez son miembros del conjunto de todas las clases cardinales). Disponer en un solo conjunto de todos los cuartetos y todos los quintetos nos ha cebado, y vamos por más: formulamos entonces el conjunto T de todos los conjuntos que tienen algún número positivo de miembros o ninguno (es decir, que tienen 0 ó 1 ó 2 ó 3... ó n... miembros). Además de los cuartetos y los quintetos, en él estarán el único conjunto vacío, todos los unitarios, todos los dúos, todos los tríos, etc.
Conviene notar que no hemos formulado el conjunto de todas las clases cardinales (es decir, el conjunto de los números naturales), sino el conjunto unión de todas las clases cardinales: sus miembros no son las clases cardinales 0, 1, 2, 3..., sino los miembros de todas y cada una de ellas, que son conjuntos: desde el conjunto vacío hasta los conjuntos infinitos, pasando por los finitos dúos, tríos, cuartetos, etc. (T no es pasible de las objeciones russellianas de la confusión de tipos: T no mezcla individuos con clases de individuos, clases de clases de individuos, etc.; los miembros de T son bastante homogéneos: sólo hay en T conjuntos con algún número de miembros.)
Para diferenciar mejor este conjunto, comparémoslo con un conjunto vecino, que resulta de volver a aplicar la operación de unir interiores. Si unimos todos los miembros de cada unitario, de cada dúo, de cada trío, etc., el conjunto unión (del conjunto unión de las clases cardinales) que obtenemos es el conjunto de todos los miembros (mejor que de todas las cosas), el club de todas las membresías. El conjunto T es la unión anterior; veamos a qué conjunto equivale.
Pensemos en colecciones diversas: la de todos los puntos de un segmento de línea, la de todos los glaciares, la de todos los números primos, las de todas las gotas de lluvia que tocaron a X, etc. Más allá de las dificultades que en algún caso puedan existir para determinarlo, es razonable creer que cualquiera de estos conjuntos tiene un número preciso de elementos, que será su medida o tamaño. Si ése es el caso de cualquier conjunto, si todo conjunto tiene un número cardinal por tamaño, entonces el conjunto T de los conjuntos con algún número de miembros resulta ser el conjunto de todos los conjuntos. (De hecho, puede interpretárselo como una presentación ordenada suya: primero, el conjunto vacío; luego, todos los unitarios; luego, todos los dúos; etc.).
¿Y qué hay de él? Si tiene un número cardinal por tamaño, entonces es miembro de un subconjunto suyo. No es miembro de la clase cardinal 4 –no es un cuarteto– ni de la 5 –no es un quinteto–; pero, si tiene algún número de miembros, ha de ser miembro de alguna clase cardinal. Y como cualquier miembro de un subconjunto de T es también miembro de T, T es miembro de sí mismo.
Rebobinemos. Como todos los miembros de una clase cardinal n son también miembros de T, cualquier clase cardinal es subconjunto de T. Si T es miembro de sí mismo, también lo es de algún subconjunto suyo, a saber: aquella clase cardinal x a la que pertenezca T por tener x miembros. (Si x fuese un número finito, se reeditaría con T la paradoja de los tres tristes tríos; si fuese infinito, su duplicidad conjunción-conjunto.)
El hecho de que cada uno de los conjuntos tenga un tamaño no implica que necesariamente su totalidad lo tenga; ¿tampoco obliga a que no lo tenga? Si la respuesta es "No, tampoco", lo máximo que se puede afirmar es que, en caso de tener un tamaño la totalidad de las totalidades (finitas, transfinitas, trans-transfinitas, etc.), no es comparable con los tamaños de los conjuntos (o totalidades) que la componen. Si la respuesta es "Sí, obliga", la razón creo que sería algo así: si haciendo posible que T tenga un tamaño desembocamos en una contradicción, entonces mejor no lo hacemos posible: lo obligamos a ser imposible.
Nada impide que postulemos que el conjunto T tiene un tamaño –al igual que los conjuntos que lo integran–, a condición de que sepamos que tal tamaño –a diferencia de los otros– no pertenece a la jerarquía que él limita. (La situación no es nueva. Su repetición hace que cualquier etiqueta de absoluto resulte la ilusión de tope que genera una perspectiva encerrada.)
T tiene un número de miembros mayor que el de cualquier otro conjunto; T es un conjunto máximo. Esto entra en contradicción con un teorema externo a la ley de su formación: con el teorema del conjunto potencia, por el cual no puede haber un conjunto mayor.
Hay dos leyes que entran en conflicto. Si prevalece el teorema del conjunto potencia, T no puede existir: la prueba es que si existiera, sería lo que el teorema demuestra que no puede haber, un conjunto máximo, el conjunto mayor. Si prevalece el resultado de unir los miembros de todas las clases cardinales, el teorema del conjunto potencia pasa de general a específico: pasa a aplicarse sólo a los conjuntos que define con esa imposibilidad.
Si este es el caso, el teorema del conjunto potencia es válido para cualquier conjunto de la jerarquía que él forma, pero no para la totalidad de ellos, entendida como un conjunto más. Ese total es la expresión de su límite, como ℵo lo es de los números cardinales finitos y ω lo es de los ordinales finitos. El teorema impide que T integre la serie (esa serie), no que exista: de hecho, existe en calidad de (o sea, es) su límite, y nada obliga a que no pueda ser el término inaugural de otra serie.
Ahora se ve así:
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